tập hợp z là gì

By Admin 02/05/2024 0
Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng người sử dụng nhập lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể nhập lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: tập hợp z là gì

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tứ Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm tách rạc
  • Lưới
  • Số vẹn toàn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát tháo GL(n)
  • Tuyến tính quan trọng SL(n)
  • Trực giao phó O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực giao phó quan trọng SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita quan trọng SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp giao phó hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội thông thườn là một số trong những hoàn toàn có thể được viết lách nhưng mà không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số vẹn toàn, trong lúc 9.75, 5+1/2 và ko cần là số vẹn toàn.

Tập ăn ý những số vẹn toàn bao hàm 0, những số bất ngờ dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch ngợm hòn đảo quy tắc nằm trong của bọn chúng (là những số vẹn toàn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập ăn ý những số vẹn toàn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn đem viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ đồng hồ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là 1 tập trung con cái của tập trung những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là 1 tập trung con cái của tập trung những số thực . Giống như tập trung những số bất ngờ, là tập trung vô hạn điểm được.

Các số vẹn toàn tạo nên trở thành group nhỏ nhất và đai nhỏ nhất chứa chấp những số bất ngờ. Trong lý thuyết số đại số, những số vẹn toàn thỉnh thoảng được xem là số vẹn toàn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số vẹn toàn đại số tổng quát tháo rộng lớn. Trên thực tiễn, số vẹn toàn (hữu tỉ) là số vẹn toàn đại số nhưng mà cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng hoàn toàn có thể được dùng để làm biểu thị những tập trung không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau trong những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số vẹn toàn dương, hoặc cho những số vẹn toàn ko âm và cho những số vẹn toàn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số vẹn toàn không giống 0, trong lúc những người dân không giống dùng nó cho những số vẹn toàn ko âm hoặc mang đến {–1, 1}. Dường như, được dùng nhằm biểu thị tập dượt những số vẹn toàn modulo p[2] (tức là tập dượt những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc tập dượt những số vẹn toàn p -adic.[1][6][7]. chính vì vậy nếu như muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì cần khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này là sai. Có một số trong những bài bác Việc minh chứng quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại chuồn tình huống không giống ko.Chúng tớ cần địa thế căn cứ nhập sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, nhập sách lớp 6 tập trung số vẹn toàn chỉ mất kí hiệu là Z nên lúc tất cả chúng ta mang đến đề nhưng mà đem sử

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số vẹn toàn hoàn toàn có thể được xem là những điểm tách rộc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số nhiều năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số vẹn toàn ko âm được hiển thị vì thế màu xanh lá cây lam và số vẹn toàn âm red color.

Giống giống như các số bất ngờ, là tập trung đóng góp với những quy tắc toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhì số vẹn toàn ngẫu nhiên là một số trong những vẹn toàn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số vẹn toàn âm (và cần thiết là 0), , không phải như những số bất ngờ, cũng chính là tập trung đóng góp với quy tắc trừ.[8]

Các số vẹn toàn tạo nên trở thành một đai đơn vị chức năng, vốn liếng là đai cơ bạn dạng nhất, bám theo nghĩa sau: so với ngẫu nhiên đai đơn vị chức năng này, đều phải sở hữu một quy tắc đồng cấu có một không hai kể từ những số vẹn toàn nhập đai này. Thuộc tính phổ quát tháo này, ví dụ là 1 đối tượng người tiêu dùng ban sơ nhập loại đai, là đặc thù mang đến đai .

ko đóng góp với quy tắc phân chia, vì như thế thương của nhì số vẹn toàn (ví dụ: 1 phân chia mang đến 2) hoàn toàn có thể ko là số vẹn toàn. Mặc mặc dù những số bất ngờ là đóng góp với quy tắc lũy quá, tuy nhiên những số vẹn toàn thì ko (vì sản phẩm hoàn toàn có thể là 1 phân số Lúc số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một số trong những đặc thù cơ bạn dạng của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân so với ngẫu nhiên số vẹn toàn a, b và c:

Tính hóa học của quy tắc nằm trong và quy tắc nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính giao phó hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch ngợm đảo: a + (−a) = 0 Số vẹn toàn có một không hai đem thành phần nghịch ngợm hòn đảo (gọi là đơn vị) là −1 và 1.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) và (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không đem ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngữ điệu của đại số trừu tượng, năm tính chất trước tiên được liệt kê phía trên xác minh rằng là 1 group abel với quy tắc nằm trong. Nó cũng là 1 group cyclic, vì như thế từng số vẹn toàn không giống 0 đều hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với quy tắc nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — bám theo tức là ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn này đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất trước tiên được liệt kê phía trên được cho phép nhân bảo rằng cùng theo với quy tắc nhân là 1 monoid giao phó hoán. Tuy nhiên, ko cần từng số vẹn toàn đều phải sở hữu nghịch ngợm hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Tức là với quy tắc nhân ko cần là 1 group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), Lúc được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với quy tắc nằm trong và quy tắc nhân là 1 đai giao phó hoán đem thành phần đơn vị chức năng. Nó là vẹn toàn khuôn mẫu của toàn bộ những đối tượng người tiêu dùng của cấu hình đại số như thế. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong các mang đến toàn bộ những độ quý hiếm của biến hóa, thì cũng chính là đúng trong các ngẫu nhiên đai giao phó hoán đem đơn vị chức năng này. Một số số vẹn toàn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 nhập một số trong những đai chắc chắn.

Việc thiếu thốn những ước số của 0 trong số số vẹn toàn (thuộc tính sau cuối nhập bảng) Tức là đai giao phó hoán là 1 miền vẹn toàn.

Việc thiếu thốn những quy tắc nghịch ngợm hòn đảo của quy tắc nhân, tương tự với thực tiễn là ko cần là đóng góp với quy tắc phân chia, Tức là không phải là 1 ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số vẹn toàn bên dưới dạng một đai con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình xây cất những số hữu tỉ kể từ những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được học theo sẽ tạo trở thành ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền vẹn toàn này. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), đai số vẹn toàn của chính nó hoàn toàn có thể được trích xuất, bao hàm như thể đai con cái của chính nó.

Mặc mặc dù quy tắc phân chia thường thì ko được khái niệm bên trên , quy tắc phân chia "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là quy tắc phân chia Euclid, và đem đặc thù cần thiết sau: mang đến nhì số vẹn toàn a và b với b ≠ 0, tồn bên trên những số vẹn toàn q và r có một không hai sao mang đến a = q × b + r và 0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số vẹn toàn q được gọi là thương và r được gọi là phần dư của quy tắc phân chia a mang đến b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số cộng đồng lớn số 1 sinh hoạt với cùng 1 chuỗi những quy tắc phân chia Euclid.

Một lần tiếp nữa, nhập ngữ điệu của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là 1 đai Euclid. Vấn đề này ý niệm rằng là 1 đai ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số vẹn toàn dương nào thì cũng hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tích của những số yếu tố bám theo một cơ hội cơ bạn dạng có một không hai.[10] Đây là toan lý cơ bạn dạng của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là 1 tập trung đem trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số vẹn toàn là dương nếu như nó to hơn 0 và âm nếu như nó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số vẹn toàn tương mến với những quy tắc toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b và 0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tớ Kết luận rằng cùng theo với trật tự bên trên là 1 đai đem trật tự.

Các số vẹn toàn là group abel đem trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường có một không hai đem những thành phần dương được bố trí bám theo trật tự hợp lí.[11] Vấn đề này tương tự với tuyên thân phụ rằng ngẫu nhiên đai Đánh Giá Noether nào thì cũng là 1 ngôi trường — hoặc một đai định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 vĩ đại 5
Các điểm red color thể hiện tại những cặp số bất ngờ đem trật tự. Các điểm red color được link là những lớp tương tự thay mặt đại diện cho những số vẹn toàn màu xanh lá cây lam ở cuối dòng sản phẩm.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường tè học tập, những số vẹn toàn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan tiền là những số bất ngờ (dương), số 0 và những số đối của những số bất ngờ. Tuy nhiên, loại khái niệm này kéo đến nhiều tình huống không giống nhau (mỗi quy tắc toán số học tập rất cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc minh chứng rằng những số vẹn toàn tuân bám theo những toan luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do cơ, nhập toán học tập lý thuyết tập trung tân tiến, một cấu hình trừu tượng hơn[13] được cho phép người tớ xác lập những quy tắc toán số học tập nhưng mà không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống này thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do cơ, những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được xây cất đầu tiên giống như các lớp tương tự của những cặp số bất ngờ đem trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là viết lách tắt của sản phẩm của quy tắc trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 2 và 4 − 5 biểu thị nằm trong một số trong những, tất cả chúng ta xác lập mối liên hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: lời chúc sinh nhật con gái

chỉ khi

Phép nằm trong và quy tắc nhân những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được khái niệm bám theo những quy tắc toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự đem (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc quy tắc nghịch ngợm hòn đảo của quy tắc cộng) của một số trong những vẹn toàn đạt được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do cơ quy tắc trừ hoàn toàn có thể được khái niệm là quy tắc cùng theo với nghịch ngợm hòn đảo của quy tắc cộng:

Thứ tự động tiêu xài chuẩn chỉnh bên trên những số vẹn toàn được thể hiện với bất đẳng thức:

Lúc và chỉ Lúc

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy theo việc lựa lựa chọn thay mặt đại diện của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự mang trong mình 1 member có một không hai đem dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhì và một lúc). Số bất ngờ n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số bất ngờ được nhúng nhập những số vẹn toàn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu −n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp còn sót lại và mang đến lớp [(0,0)] gấp đôi vì thế −0 = 0.

Do cơ, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số bất ngờ được xác lập với những số vẹn toàn ứng (sử dụng quy tắc nhúng được trình bày ở trên), thì quy ước này sẽ không dẫn đến sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này bình phục màn biểu diễn thân thuộc của những số vẹn toàn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm xây cất những số vẹn toàn được dùng vì thế những máy tìm hiểu toan lý tự động hóa và những khí cụ viết lách lại thuật ngữ. Số vẹn toàn được màn biểu diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được xây cất bằng phương pháp dùng một vài ba quy tắc toán cơ bạn dạng (ví dụ: zero, succ, pred) và, hoàn toàn có thể, dùng những số bất ngờ, được giả thiết là và được xây cất (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu chục cơ hội xây cất những số vẹn toàn đem lốt.[16] Các cấu hình này không giống nhau bám theo một số trong những cách: con số những quy tắc toán cơ bạn dạng được dùng mang đến cấu hình, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những quy tắc toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng vẻ mặt mày của những số bất ngờ thực hiện đối số của một số trong những quy tắc toán này và thực tiễn là những quy tắc toán này còn có cần là hàm tạo nên tự tại hay là không, tức là nằm trong một số trong những vẹn toàn hoàn toàn có thể được màn biểu diễn chỉ vì thế một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật xây cất những số vẹn toàn được trình diễn phía trên nhập phần này ứng với tình huống ví dụ nhập cơ mang trong mình 1 cặp quy tắc toán cơ bạn dạng duy nhất nhận đối số là nhì số bất ngờ và và trả về một số trong những vẹn toàn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì như thế số vẹn toàn 0 hoàn toàn có thể được viết lách là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật xây cất này được dùng vì thế trợ lý minh chứng Isabelle; song, nhiều khí cụ không giống dùng những nghệ thuật xây cất thay cho thế, xứng đáng để ý là những nghệ thuật dựa vào những cấu hình tự tại, giản dị và đơn giản rộng lớn và hoàn toàn có thể được triển khai hiệu suất cao rộng lớn nhập PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số vẹn toàn thông thường là 1 loại tài liệu vẹn toàn thủy trong số ngữ điệu PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số vẹn toàn chỉ hoàn toàn có thể thay mặt đại diện cho 1 tập trung con cái của toàn bộ những số vẹn toàn, vì như thế PC thực tiễn đem dung tích hữu hạn. Dường như, nhập màn biểu diễn quy tắc bù nhì thịnh hành, khái niệm cố hữu của lốt phân biệt thân thiết "âm" và "không âm" thay cho "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc chắn là PC hoàn toàn có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số vẹn toàn đem thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số vẹn toàn có tính nhiều năm thắt chặt và cố định (hoặc tập trung con) được ký hiệu là int hoặc Integer nhập một số trong những ngữ điệu lập trình sẵn (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các màn biểu diễn số vẹn toàn có tính nhiều năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ ngẫu nhiên số vẹn toàn này vừa vặn với bộ nhớ lưu trữ của sản phẩm tính. Các loại tài liệu số vẹn toàn không giống được lên kế hoạch với độ cao thấp thắt chặt và cố định, thông thường là một số trong những bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một số trong những chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của tập trung những số lý do ℵ0 (aleph-null). Điều được dễ dàng và đơn giản minh chứng bằng sự việc xây cất một tuy nhiên ánh, cơ là 1 hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó kiểm tra hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tớ kiểm tra hàm sau:

Xem thêm: phim bài học tình yêu thứ 9

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn nhập vậy thì từng và từng thành phần của mang trong mình 1 và có một thành phần ứng của và bám theo khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhì tập trung này còn có lực lượng đều nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số vẹn toàn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày trăng tròn mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction vĩ đại Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Chip Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide vĩ đại Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bạn dạng 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem trăng tròn.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng bốn năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning vĩ đại Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số vẹn toàn bên trên MathWorld.