z là tập hợp số gì

Các số hữu tỉ (ℚ) được bao hàm trong số số thực (ℝ), trong những khi bạn dạng thân mật bọn chúng bao hàm những số nguyên vẹn (ℤ), cho tới lượt nó bao hàm những số ngẫu nhiên (ℕ)

Trong toán học tập, số hữu tỉ là những số x hoàn toàn có thể trình diễn bên dưới dạng phân số , nhập bại ab là những số nguyên vẹn với b0.[1]

Tập phù hợp những số hữu tỉ[2], hoặc hay còn gọi là ngôi trường số hữu tỉ[3], ký hiệu là Q (chữ đậm) hoặc (chữ viền), Unicode 𝐐/ℚ.[4] Tên Q của tập kết này được Giuseppe Peano dùng phiên thứ nhất như thể chữ viết lách tắt của quoziente, tức là tỷ trọng, và xuất hiện tại lần thứ nhất nhập cuốn sách Algèbre[5] của Bourbaki.

Bạn đang xem: z là tập hợp số gì

Khai triển thập phân của một vài hữu tỉ kết giục sau một vài hữu hạn chữ số (ví dụ: 3/4 = 0,75 hoặc thậm chí còn chính thức tái diễn một vài hữu hạn nằm trong mặt hàng những chữ số lặp chuồn tái diễn (ví dụ: 9/44 = 0,20454545...).[6] trái lại, ngẫu nhiên số thập phân tái diễn tuần trả hoặc kết giục sau hữu hạn chữ số đều thay mặt đại diện mang lại một vài hữu tỉ. Các tuyên bố này đúng trong những cơ số 10 và vào cụ thể từng cơ số nguyên vẹn không giống (ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân).

Một số thực ko nên là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao hàm , π, eφ. Khai triển thập phân của một vài vô tỉ kéo dãn mãi nhưng mà ko tái diễn. Vì tập kết những số hữu tỉ là điểm được và tập kết những số thực là ko điểm được nên hầu hết toàn bộ những số thực đều là số vô tỉ.[8]

Số hữu tỉ hoàn toàn có thể được khái niệm một cơ hội chủ yếu tắc là những lớp tương tự của những cặp số nguyên vẹn (p, q) với q ≠ 0, dùng mối liên hệ tương tự được khái niệm như sau:

Phân số p/q Khi bại biểu thị lớp tương tự của (p, q).[9]

Số hữu tỉ cùng theo với luật lệ nằm trong và luật lệ tự tạo trở nên một ngôi trường nhập bại đem chứa chấp những số nguyên vẹn, và được chứa chấp nhập ngẫu nhiên ngôi trường nào là đem chứa chấp những số nguyên vẹn. Nói cách tiếp theo, ngôi trường số hữu tỉ là 1 trong ngôi trường yếu tố và một ngôi trường đem đặc thù là 0 nếu như và chỉ Khi nó chứa chấp những số hữu tỉ bên dưới dạng một ngôi trường con cái. Phần không ngừng mở rộng hữu hạn của Q được gọi là ngôi trường số đại số và phần đóng góp đại số của Q là ngôi trường số đại số.[10]

Trong giải tích toán học tập, những số hữu tỉ tạo nên trở nên một luyện con cái trù phú của những số thực. Các số thực hoàn toàn có thể được xây cất kể từ những số hữu tỉ bằng phương pháp hoàn thiện, dùng chuỗi Cauchy, hạn chế Dedekind hoặc những số thập phân vô hạn (để hiểu thêm, coi Xây dựng những số thực).

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Thuật ngữ hữu tỷ nhập thương hiệu của tập kết Q nhắc đến thực tiễn rằng một vài hữu tỷ biểu thị một tỷ số của nhị số nguyên vẹn. Tính kể từ hữu tỉ nhiều lúc tức là những thông số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là 1 trong điểm đem toạ phỏng hữu tỉ (tức là 1 trong điểm đem toạ phỏng là số hữu tỉ); một ma trận hữu tỉ là 1 trong quỷ trận của những số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ hoàn toàn có thể là 1 trong nhiều thức với những thông số hữu tỉ, tuy vậy thuật ngữ "đa thức bên trên những số hữu tỉ" thông thường được ưu tiên rộng lớn, nhằm rời lầm lẫn thân mật " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" (đa thức là 1 trong biểu thức hữu tỉ và khái niệm một hàm hữu tỉ, trong cả Khi những thông số của chính nó ko nên là số hữu tỉ). Tuy nhiên, một lối cong hữu tỷ không phải là 1 trong lối cong được xác lập bên trên những số hữu tỷ, nhưng mà là 1 trong lối cong hoàn toàn có thể được thông số hóa vì như thế những hàm hữu tỷ.[cần dẫn nguồn]

Từ nguyên vẹn này tương tự động như kể từ nguyên vẹn của số ảo và số thực.

Số học[sửa | sửa mã nguồn]

Phân số tối giản[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ hoàn toàn có thể được trình diễn theo đòi một cơ hội độc nhất bên dưới dạng một phân số tối giản a/b, nhập bại ab là những số yếu tố bên nhau và b > 0. Đây thông thường được gọi là dạng đúng đắn của số hữu tỉ.

Bắt đầu kể từ một vài hữu tỉ a/b, dạng đúng đắn của chính nó hoàn toàn có thể cảm nhận được bằng phương pháp phân chia ab mang lại ước công cộng lớn số 1 của bọn chúng, và nếu như b < 0, thay cho thay đổi vệt của tử số và hình mẫu số.

Nhúng những số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số nguyên vẹn n hoàn toàn có thể được trình diễn bên dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chủ yếu tắc của chính nó bên dưới dạng một vài hữu tỉ.

Đẳng thức[sửa | sửa mã nguồn]

Khi và chỉ Khi

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thì:

Khi và chỉ Khi [9]

Thứ tự[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu cả nhị hình mẫu số đều dương (đặc biệt nếu như cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc):

Khi và chỉ Khi

Mặt không giống, nếu như 1 trong nhị hình mẫu số là âm, thì trước tiên từng phân số đem hình mẫu số âm nên được trả trở nên dạng tương tự với hình mẫu số dương — bằng phương pháp thay đổi vệt của tất cả tử số và hình mẫu số của chính nó.[9]

Phép cộng[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nằm trong như sau:

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành quả tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Khi và chỉ Khi bd là những số yếu tố bên nhau.[9][11]

Phép trừ[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được trừ như sau:

tùy nhập những ngôi trường hợp

Nếu cả nhị phân số đều ở dạng chủ yếu tắc, thành quả tiếp tục ở dạng chủ yếu tắc Khi và chỉ Khi bd là những số yếu tố bên nhau.[9]

Phép nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Hai số hữu tỷ được nhân như sau:

trong bại thành quả hoàn toàn có thể là 1 trong phân số hoàn toàn có thể rút gọn gàng — trong cả Khi cả nhị phân số ban sơ đều ở dạng chủ yếu tắc.[9][11]

Nghịch hòn đảo luật lệ nằm trong và luật lệ nhân[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi số hữu tỉ a/b mang 1 nghịch ngợm hòn đảo luật lệ nằm trong, thông thường được gọi là số đối của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì số đối của chính nó cũng ở dạng này.

Một số hữu tỉ không giống ko a/b đem nghịch ngợm hòn đảo luật lệ nhân, hay còn gọi là nghịch đảo của chính nó,

Nếu như a/b ở dạng chủ yếu tắc, thì dạng chủ yếu tắc của nghịch ngợm hòn đảo của chính nó là b/a hoặc b/a, tùy theo vệt của a.[cần dẫn nguồn]

Phép chia[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu b, cd không giống ko, quy tắc phân chia là

Như vậy, phân chia a/b mang lại c/d tương tự với nhân a/b với nghịch ngợm hòn đảo của c/d:

[12]

Lũy quá với số nón nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu n là một vài nguyên vẹn ko âm, thì

Kết ngược ở dạng chuẩn chỉnh tắc nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc. điều đặc biệt,

Xem thêm: cài đặt giờ trên iphone

Nếu a ≠ 0, thì

Nếu như a/b ở dạng chuẩn chỉnh tắc, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành quả là bn/an nếu như a > 0 hoặc n chẵn. Nếu ko, dạng chuẩn chỉnh tắc của thành quả là bn/an.

Biểu diễn[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu biểu diễn nhập hệ thập phân và những hệ cơ số khác[sửa | sửa mã nguồn]

Khi trình diễn số hữu tỉ theo đòi hệ ghi số cơ số 10 (dạng thập phân), số hữu tỉ hoàn toàn có thể là số thập phân hữu hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần trả và ngược lại.

Một phân số tối giản với hình mẫu dương và hình mẫu không tồn tại ước yếu tố nào là ngoài 2 và 5 thì phân số bại viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

VD: phân số đem hình mẫu số là không tồn tại ước yếu tố nào là không giống 5 nên hoàn toàn có thể viết lách được bên dưới dạng số thập phân hữu hạn

Một phân số tối giản với hình mẫu dương và hình mẫu đem tối thiểu 1 ước yếu tố không giống 2 và 5 thì phân số bại viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 1: phân số đem hình mẫu số là 7 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ 2: phân số đem hình mẫu số là 17 nên được viết lách bên dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Dãy những chữ số tái diễn nhập trình diễn thập phân của những số thập phân vô hạn tuần trả được gọi là chu kỳ luân hồi, và số những chữ số nhập chu kỳ luân hồi này hoàn toàn có thể chứng tỏ được rằng ko vượt lên trước vượt |b|.

Một cơ hội tổng quát lác, nhập một hệ cơ số ngẫu nhiên, những chữ số sau vệt phẩy của số hữu tỉ là hữu hạn hoặc vô hạn tuần trả.

Biểu biểu diễn vì như thế liên phân số[sửa | sửa mã nguồn]

Một liên phân số hữu hạn là 1 trong biểu thức ví dụ điển hình như

trong bại an là những số nguyên vẹn. Mọi số hữu tỉ a/b hoàn toàn có thể được trình diễn bên dưới dạng một liên phân số hữu hạn, nhưng mà thông số an hoàn toàn có thể được xác lập bằng phương pháp vận dụng thuật toán Euclide mang lại (a, b).

Xây dựng luyện những số hữu tỉ kể từ luyện số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu loại thể hiện tại sự trình diễn những lớp tương tự của những cặp số nguyên

Trong toán học tập tiến bộ, người tớ xây cất tập kết những số hữu tỉ như ngôi trường những thương của .

Xét luyện tích Decaters:

=

Trên bại xác lập một mối liên hệ tương đương:

lớp tương tự của cặp (a, b) được ký hiệu là a/b và gọi là thương của a mang lại b:

Tập những lớp này (tập thương) được gọi là luyện những số hữu tỷ và ký hiệu là . Trên luyện khái niệm những luật lệ toán:

Khi bại nếu

thì ;
.

Do bại những luật lệ toán bên trên hoàn toàn có thể được trả quý phái trở nên những luật lệ toán bên trên luyện những lớp tương tự rằng bên trên, tức là luyện .

Để coi là phần tử của tớ nhúng nhập nhờ đơn ánh cho từng số nguyên vẹn n ứng với lớp n/1 nhập .\

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Minh họa về tính chất hoàn toàn có thể điểm được của những số hữu tỷ dương

Tập phù hợp Z của toàn bộ những số hữu tỉ, cùng theo với những luật lệ toán nằm trong và nhân được trình diễn phía trên, tạo nên trở nên một ngôi trường.[9]

Z không tồn tại luật lệ tự động đẳng cấu nào là ngoài độ quý hiếm đơn vị chức năng.

Với trật tự được khái niệm phía trên, Z là ngôi trường đem loại tự[11] không tồn tại ngôi trường con cái nào là không giống ngoài chủ yếu nó, và là ngôi trường đem trật tự nhỏ nhất, theo đòi tức là từng ngôi trường đem trật tự đều có một ngôi trường con cái độc nhất đẳng cấu với Z.

Z là ngôi trường phân số của tập kết những số nguyên vẹn Q.[13] Tính đóng góp đại số của Q, tức là ngôi trường của những nghiệm của những nhiều thức hữu tỷ, là ngôi trường của những số đại số.[cần dẫn nguồn]

Tập phù hợp toàn bộ những số hữu tỉ hoàn toàn có thể điểm được (xem hình vẽ), trong những khi tập kết toàn bộ những số thực (cũng như tập kết những số vô tỉ) là ko điểm được. cũng có thể điểm được, tập kết những số hữu tỉ là tập kết trống rỗng, tức là đa số toàn bộ những số thực đều vô tỉ, theo đòi nghĩa của phỏng đo Lebesgue.[cần dẫn nguồn]

Số hữu tỷ là 1 trong tập kết đem trật tự động trù mật: thân mật nhị số hữu tỷ ngẫu nhiên, đem một vài hữu tỷ không giống, và bởi vậy, đem vô số số hữu tỷ không giống thân mật bọn chúng.[9] Ví dụ, so với nhị phân số ngẫu nhiên thỏa mãn

(với đều dương), tớ có

Bất kỳ tập kết đem trật tự trọn vẹn nào là hoàn toàn có thể điểm được, trù phú (theo nghĩa trên) và không tồn tại thành phần nhỏ nhất hoặc lớn số 1 nào là là đẳng cấu trật tự với tập kết những số hữu tỉ.[14]

Với số thực và đặc thù pô[sửa | sửa mã nguồn]

Số hữu tỉ là 1 trong luyện con cái trù phú của những số thực: từng số thực đều phải có những số hữu tỉ sát nó một cơ hội tùy ý.[9] Một đặc thù tương quan là số hữu tỉ là số độc nhất đem không ngừng mở rộng hữu hạn bên dưới dạng liên phân số thường thì.

Theo trật tự của bọn chúng, những số hữu tỷ mang 1 cấu hình link trật tự động. Các số hữu tỉ, như 1 không khí con cái của những số thực, cũng có thể có một cấu hình link không khí con cái. Các số hữu tỉ tạo nên trở nên một không khí số liệu bằng phương pháp dùng metric chênh chếch vô cùng d(x, y) = | xy |, và điều này đưa đến một cấu hình link loại tía bên trên Q. Tất cả tía cấu hình link trùng khớp và trở thành những hợp lí trở nên một ngôi trường tôpô. Các số hữu tỉ là 1 trong ví dụ cần thiết của một không khí ko nên là không lịch kịch toàn thể. Các hợp lí được đặc thù về mặt mũi cấu hình link là không khí hoàn toàn có thể điểm được độc nhất nhưng mà không tồn tại điểm xa lánh. Không gian dối này cũng trọn vẹn bị ngắt liên kết. Các số hữu tỉ ko tạo nên trở nên một không khí số liệu trả chỉnh  ; những số thực là việc hoàn thiện của Q theo đòi metric d(x, y) = | xy | bên trên.[11]

Số p-adic[sửa | sửa mã nguồn]

Ngoài metric độ quý hiếm vô cùng được kể phía trên, đem những số liệu không giống trở thành Q trở nên một ngôi trường tô pô liên kết:

Cho p là một vài yếu tố và với từng số nguyên vẹn không giống ko a, mang lại | a |p = pn, nhập bại pn là lũy quá tối đa của p phân chia không còn a.

Xem thêm: chưa một lần anh thấy hối hận

Ngoài đi ra tớ đặt điều | 0 |p = 0. Đối với ngẫu nhiên số hữu tỉ a/b, tớ đặt điều | a/b |p = | a |p/| b |p .

Khi bại dp(x, y) = | xy |p xác lập một metric bên trên Q[15]

Không gian dối metric (Q, dp) ko hoàn hảo và phần hoàn thiện của chính nó là ngôi trường số p -adic Qp. Định lý Ostrowski tuyên bố rằng ngẫu nhiên độ quý hiếm vô cùng ko tầm thông thường nào là bên trên số hữu tỉ Q đều tương tự với độ quý hiếm vô cùng thực thường thì hoặc độ quý hiếm vô cùng p -adic.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số nguyên vẹn tố
  • Số nguyên
  • Số tự động nhiên
  • Số vô tỉ
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (ấn bạn dạng 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  2. ^ Lass, Harry (2009). Elements of Pure and Applied Mathematics . Courier Corporation. tr. 382. ISBN 978-0-486-47186-0. Extract of page 382
  3. ^ Robinson, Julia (1996). The Collected Works of Julia Robinson. American Mathematical Soc. tr. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6. Extract of page 104
  4. ^ Rouse, Margaret. “Mathematical Symbols”. Truy cập ngày một tháng bốn năm 2015.
  5. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  6. ^ “Rational number”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  7. ^ Weisstein, Eric W. “Rational Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  8. ^ Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and its Applications (ấn bạn dạng 6). Thành Phố New York, NY: McGraw-Hill. tr. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
  9. ^ a b c d e f g h i Biggs, Norman L. (2002). Discrete Mathematics. India: Oxford University Press. tr. 75–78. ISBN 978-0-19-871369-2.
  10. ^ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (ấn bạn dạng 6). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. tr. 243–244. ISBN 0-534-40264-X.
  11. ^ a b c d “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  12. ^ “Fraction - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.
  13. ^ Bourbaki, N. (2003). Algebra II: Chapters 4 - 7. Springer Science & Business Media. tr. A.VII.5.
  14. ^ (Bản report kỹ thuật).
  15. ^ Weisstein, Eric W. “p-adic Number”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 17 mon 8 năm 2021.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số hữu tỉ bên trên MathWorld.