số nguyên là những số nào

Cấu trúc đại số → lý thuyết nhóm
Lý thuyết nhóm

Thuật ngữ cơ bản

  • Nhóm con
  • Nhóm con cái chuẩn chỉnh tắc
  • Nhóm thương
  • Tích trực tiếp
  • Tích nửa trực tiếp
Đồng cấu nhóm
  • hạt nhân
  • ảnh
  • tổng trực tiếp
  • tích bện
  • đơn
  • hữu hạn
  • vô hạn
  • liên tục
  • nhân
  • cộng tính
  • cyclic
  • giao hoán
  • nhị diện
  • lũy linh
  • giải được
  • tác động
  • Từ vựng sử dụng vô lý thuyết nhóm
  • Danh sách những chủ thể vô lý thuyết nhóm

Nhóm hữu hạn

Bạn đang xem: số nguyên là những số nào

Phân loại group đơn hữu hạn
  • cyclic
  • thay phiên
  • dạng Lie
  • sporadic
  • định lý Cauchy
  • định lý Lagrange
  • Định lý Sylow
  • Định lý Hall
  • p-nhóm
  • Nhóm abel sơ cấp
  • Nhóm Frobenius
  • Nhân tử Schur

Nhóm Mathieu

  • M11
  • M12
  • M22
  • M23
  • M24

Nhóm Conway

  • Co1
  • Co2
  • Co3

Nhóm Janko

  • J1
  • J2
  • J3
  • J4

Nhóm Fischer

  • F22
  • F23
  • F24
  • nhóm đối xứng Sn
  • Nhóm tư Klein V
  • Nhóm nhị diện Dn
  • Nhóm Quaternion Q
  • Nhóm Dicyclic Dicn
  • Nhóm tách rạc
  • Lưới
  • Số vẹn toàn ()
  • Nhóm tự động do

Nhóm tế bào đun

  • PSL(2, )
  • SL(2, )
  • Nhóm số học
  • Lưới
  • Nhóm hyperbolic

Tô pô và group Lie

  • Solenoid
  • Đường tròn
  • Tuyến tính tổng quát tháo GL(n)
  • Tuyến tính quan trọng đặc biệt SL(n)
  • Trực gửi gắm O(n)
  • Euclid E(n)
  • Trực gửi gắm quan trọng đặc biệt SO(n)
  • Unita U(n)
  • Unita quan trọng đặc biệt SU(n)
  • Symplectic Sp(n)
  • G2
  • F4
  • E6
  • E7
  • E8
  • Lorentz
  • Poincaré
  • Bảo giác
  • Vi đồng phôi
  • Vòng

Nhóm Lie vô hạn chiều

  • O(∞)
  • SU(∞)
  • Sp(∞)

Nhóm đại số

  • Nhóm đại số tuyến tính
  • Nhóm khả quy
  • Đa tạp gửi gắm hoán
  • Đường cong elliptic
  • x
  • t
  • s

Trong toán học tập, số nguyên được khái niệm một cơ hội thông thườn là một trong những hoàn toàn có thể được viết lách tuy nhiên không tồn tại bộ phận phân số. Ví dụ: 21, 4, 0 và −2048 là những số vẹn toàn, trong những khi 9.75, 5+1/2 ko cần là số vẹn toàn.

Tập hợp ý những số vẹn toàn bao hàm 0, những số ngẫu nhiên dương (1, 2, 3,...), còn được gọi là số đếm,[1][1] và những nghịch tặc hòn đảo luật lệ nằm trong của bọn chúng (là những số vẹn toàn âm, tức là, −1, −2, −3, ...). Tập hợp ý những số vẹn toàn thông thường được biểu thị bằng văn bản in đậm (Z) hoặc chữ rộng lớn sở hữu viền với vần âm "Z" bắt mối cung cấp kể từ giờ đồng hồ Đức Zahlen (nghĩa là "số").[2][3][4][5] là 1 trong giao hội con cái của giao hội những số hữu tỷ , cho tới lượt nó là 1 trong giao hội con cái của giao hội những số thực . Giống như giao hội những số ngẫu nhiên, là giao hội vô hạn kiểm điểm được.

Các số vẹn toàn tạo ra trở thành group nhỏ nhất và khoanh nhỏ nhất chứa chấp những số ngẫu nhiên. Trong lý thuyết số đại số, những số vẹn toàn đôi lúc được xem là số vẹn toàn hữu tỉ nhằm phân biệt bọn chúng với những số vẹn toàn đại số tổng quát tháo rộng lớn. Trên thực tiễn, số vẹn toàn (hữu tỉ) là số vẹn toàn đại số tuy nhiên cũng chính là số hữu tỉ.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu tượng hoàn toàn có thể được dùng để làm biểu thị những giao hội không giống nhau, với cơ hội dùng không giống nhau Một trong những người sáng tác không giống nhau: ,[2] hoặc so với những số vẹn toàn dương, hoặc cho những số vẹn toàn ko âm và cho những số vẹn toàn không giống 0. Một số người sáng tác dùng ký hiệu cho những số vẹn toàn không giống 0, trong những khi những người dân không giống dùng nó cho những số vẹn toàn ko âm hoặc mang lại {–1, 1}. Hình như, được dùng nhằm biểu thị tập luyện những số vẹn toàn modulo p[2] (tức là tập luyện những lớp đồng dư của những số nguyên) hoặc tập luyện những số vẹn toàn p -adic.[1][6][7]. chính vì vậy nếu còn muốn dùng ký hiệu hoặc ký hiệu thì cần khái niệm lại bên trên đề đánh giá, nếu như bên trên đề không tồn tại khái niệm thì coi như đề này là sai. Có một trong những bài bác việc chứng tỏ quy hấp thụ thông thường hoặc dùng nhằm loại chuồn tình huống không giống ko.Chúng tớ cần địa thế căn cứ vô sách giáo khoa lớp 6 thực hiện địa thế căn cứ, vô sách lớp 6 giao hội số vẹn toàn chỉ mất kí hiệu là Z nên những khi tất cả chúng ta mang lại đề tuy nhiên sở hữu sử

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Các số vẹn toàn hoàn toàn có thể được xem là những điểm tách rộc, cơ hội đều nhau bên trên một trục số nhiều năm vô hạn. Tại hình bên trên, những số vẹn toàn ko âm được hiển thị bởi vì màu xanh lá cây lam và số vẹn toàn âm red color.

Giống tựa như những số ngẫu nhiên, là giao hội đóng góp với những luật lệ toán nằm trong và nhân, tức là tổng và tích của nhị số vẹn toàn ngẫu nhiên là một trong những vẹn toàn. Tuy nhiên, với việc bao hàm cả những số vẹn toàn âm (và cần thiết là 0), , không phải như những số ngẫu nhiên, cũng chính là giao hội đóng góp với luật lệ trừ.[8]

Các số vẹn toàn tạo ra trở thành một khoanh đơn vị chức năng, vốn liếng là khoanh cơ bạn dạng nhất, theo đòi nghĩa sau: so với ngẫu nhiên khoanh đơn vị chức năng này, đều phải sở hữu một luật lệ đồng cấu độc nhất kể từ những số vẹn toàn vô khoanh này. Thuộc tính phổ quát tháo này, ví dụ là 1 trong đối tượng người sử dụng lúc đầu vô loại khoanh, là đặc thù mang lại khoanh .

ko đóng góp với luật lệ phân chia, vì như thế thương của nhị số vẹn toàn (ví dụ: 1 phân chia mang lại 2) hoàn toàn có thể ko là số vẹn toàn. Mặc cho dù những số ngẫu nhiên là đóng góp với luật lệ lũy quá, tuy nhiên những số vẹn toàn thì ko (vì sản phẩm hoàn toàn có thể là 1 trong phân số khi số nón là âm).

Bảng sau liệt kê một trong những đặc thù cơ bạn dạng của luật lệ nằm trong và luật lệ nhân so với ngẫu nhiên số vẹn toàn a, bc:

Tính hóa học của luật lệ nằm trong và luật lệ nhân bên trên số nguyên
Phép cộng Phép nhân
Tính đóng: a + b là số nguyên a × b là số nguyên
Tính kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
Tính gửi gắm hoán: a + b = b + a a × b = b × a
Tồn bên trên thành phần đơn vị: a + 0 = a a × 1 = a
Tồn bên trên thành phần nghịch tặc đảo: a + (−a) = 0 Số vẹn toàn độc nhất sở hữu thành phần nghịch tặc hòn đảo (gọi là đơn vị) là −11.
Thuộc tính phân phối: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)  (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Không sở hữu ước số của 0: Nếu a × b = 0, thì a = 0 hoặc b = 0 (hoặc cả hai)

Trong ngôn từ của đại số trừu tượng, năm tính chất thứ nhất được liệt kê phía trên xác định rằng là 1 trong group abel với luật lệ nằm trong. Nó cũng là 1 trong group cyclic, vì như thế từng số vẹn toàn không giống 0 đều hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tổng hữu hạn 1 + 1 +... + 1 hoặc (−1) + (−1) +... + (−1). Trên thực tiễn, với luật lệ nằm trong là nhóm tuần trả vô hạn duy nhất — theo đòi tức thị ngẫu nhiên group tuần trả vô hạn này đều là đẳng cấu với .

Bốn tính chất thứ nhất được liệt kê phía trên được chấp nhận nhân bảo rằng cùng theo với luật lệ nhân là 1 trong monoid gửi gắm hoán. Tuy nhiên, ko cần từng số vẹn toàn đều phải sở hữu nghịch tặc hòn đảo nhân (như tình huống của số 2), Tức là với luật lệ nhân ko cần là 1 trong group.

Tất cả những quy tắc kể từ bảng tính chất bên trên (ngoại trừ quy tắc cuối cùng), khi được kết phù hợp với nhau, bảo rằng cùng theo với luật lệ nằm trong và luật lệ nhân là 1 trong khoanh gửi gắm hoán sở hữu thành phần đơn vị chức năng. Nó là vẹn toàn khuôn mẫu của toàn bộ những đối tượng người sử dụng của cấu tạo đại số vì vậy. Chỉ những đẳng thức của biểu thức là đúng trong các mang lại toàn bộ những độ quý hiếm của thay đổi, thì cũng chính là đúng trong các ngẫu nhiên khoanh gửi gắm hoán sở hữu đơn vị chức năng này. Một số số vẹn toàn không giống 0 ánh xạ cho tới 0 vô một trong những khoanh chắc chắn.

Việc thiếu hụt những ước số của 0 trong số số vẹn toàn (thuộc tính ở đầu cuối vô bảng) Tức là khoanh gửi gắm hoán là 1 trong miền vẹn toàn.

Việc thiếu hụt những luật lệ nghịch tặc hòn đảo của luật lệ nhân, tương tự với thực tiễn là ko cần là đóng góp với luật lệ phân chia, Tức là không phải là 1 trong ngôi trường. Trường nhỏ nhất chứa chấp những số vẹn toàn bên dưới dạng một khoanh con cái là ngôi trường những số hữu tỉ. Quá trình kiến tạo những số hữu tỉ kể từ những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được học theo sẽ tạo trở thành ngôi trường phân số của ngẫu nhiên miền vẹn toàn này. Và ngược lại, chính thức kể từ ngôi trường số đại số (phần không ngừng mở rộng của số hữu tỉ), khoanh số vẹn toàn của chính nó hoàn toàn có thể được trích xuất, bao hàm như thể khoanh con cái của chính nó.

Mặc cho dù luật lệ phân chia thường thì ko được khái niệm bên trên , luật lệ phân chia "với phần dư" được xác lập bên trên bọn chúng. Nó được gọi là luật lệ phân chia Euclid, và sở hữu đặc thù cần thiết sau: mang lại nhị số vẹn toàn ab với b ≠ 0, tồn bên trên những số vẹn toàn qr độc nhất sao mang lại a = q × b + r0 ≤ r < |b|, ở đâu |b| biểu thị độ quý hiếm vô cùng của b.[9] Số vẹn toàn q được gọi là thươngr được gọi là phần dư của luật lệ phân chia a mang lại b. Thuật toán Euclid nhằm tính ước số công cộng lớn số 1 hoạt động và sinh hoạt với cùng 1 chuỗi những luật lệ phân chia Euclid.

Một đợt tiếp nhữa, vô ngôn từ của đại số trừu tượng, phần bên trên bảo rằng là 1 trong khoanh Euclid. Vấn đề này ý niệm rằng là 1 trong khoanh ideal chủ yếu và ngẫu nhiên số vẹn toàn dương nào thì cũng hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng tích của những số nhân tố theo đòi một cơ hội cơ bạn dạng độc nhất.[10] Đây là tấp tểnh lý cơ bạn dạng của số học tập.

Thuộc tính lý thuyết loại tự[sửa | sửa mã nguồn]

là 1 trong giao hội sở hữu trật tự trọn vẹn không tồn tại số lượng giới hạn bên trên hoặc bên dưới. Thứ tự động của được khái niệm là: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 <... Một số vẹn toàn là dương nếu như nó to hơn 0 và âm nếu như nó nhỏ rộng lớn 0. Số ko (0) được khái niệm là ko âm cũng ko dương.

Thứ tự động của những số vẹn toàn tương mến với những luật lệ toán đại số Theo phong cách sau:

  1. Nếu a < bc < d, thì a + c < b + d
  2. Nếu a < b0 < c, thì ac < bc.

Vì vậy, tớ Tóm lại rằng cùng theo với trật tự bên trên là 1 trong khoanh sở hữu trật tự.

Các số vẹn toàn là group abel sở hữu trật tự trọn vẹn ko tầm thông thường độc nhất sở hữu những thành phần dương được bố trí theo đòi trật tự phù hợp.[11] Vấn đề này tương tự với tuyên tía rằng ngẫu nhiên khoanh reviews Noether nào thì cũng là 1 trong ngôi trường — hoặc một khoanh định vị vô nằm trong cần thiết.

Xây dựng[sửa | sửa mã nguồn]

Representation of equivalence classes for the numbers −5 to tát 5
Các điểm red color thể hiện tại những cặp số ngẫu nhiên sở hữu trật tự. Các điểm red color được link là những lớp tương tự thay mặt cho những số vẹn toàn màu xanh lá cây lam ở cuối dòng sản phẩm.

Trong quy trình dạy dỗ học tập ở ngôi trường đái học tập, những số vẹn toàn thông thường được khái niệm một cơ hội trực quan tiền là những số ngẫu nhiên (dương), số 0 và những số đối của những số ngẫu nhiên. Tuy nhiên, loại khái niệm này kéo theo nhiều tình huống không giống nhau (mỗi luật lệ toán số học tập cần phải xác lập bên trên từng tổng hợp những loại số nguyên) và khiến cho việc chứng tỏ rằng những số vẹn toàn tuân theo đòi những tấp tểnh luật số học tập không giống nhau trở thành tẻ nhạt nhẽo.[12] Do cơ, vô toán học tập lý thuyết giao hội tân tiến, một cấu tạo trừu tượng hơn[13] được chấp nhận người tớ xác lập những luật lệ toán số học tập tuy nhiên không tồn tại ngẫu nhiên phân biệt tình huống này thông thường được dùng để thay thế thế.[14] Do cơ, những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được kiến tạo đầu tiên tựa như những lớp tương tự của những cặp số ngẫu nhiên sở hữu trật tự (a,b).[15]

Trực giác là (a,b) là viết lách tắt của sản phẩm của luật lệ trừ a-b.[15] Để xác nhận kỳ vọng của tất cả chúng ta rằng 1 − 24 − 5 biểu thị nằm trong một trong những, tất cả chúng ta xác lập mối quan hệ tương tự ~ bên trên những cặp này với quy tắc sau:

Xem thêm: cách sử dụng google drive

chỉ khi

Phép nằm trong và luật lệ nhân những số vẹn toàn hoàn toàn có thể được khái niệm theo đòi những luật lệ toán tương tự bên trên những số tự động nhiên;[15] bằng phương pháp dùng [(a,b)] nhằm biểu thị lớp tương tự sở hữu (a,b) là member, lớp này có:

Số đối (hoặc luật lệ nghịch tặc hòn đảo của luật lệ cộng) của một trong những vẹn toàn đã đạt được bằng phương pháp hòn đảo ngược trật tự của cặp:

Do cơ luật lệ trừ hoàn toàn có thể được khái niệm là luật lệ cùng theo với nghịch tặc hòn đảo của luật lệ cộng:

Thứ tự động chi tiêu chuẩn chỉnh bên trên những số vẹn toàn được thể hiện với bất đẳng thức:

khi và chỉ khi

Dễ dàng xác minh rằng những khái niệm này sẽ không tùy theo việc lựa lựa chọn thay mặt của những lớp tương tự.

Mọi lớp tương tự sở hữu một member độc nhất sở hữu dạng (n,0) hoặc (0,n) (hoặc cả nhị và một lúc). Số ngẫu nhiên n được xác lập với lớp [(n,0)] (nghĩa là, những số ngẫu nhiên được nhúng vô những số vẹn toàn bằng phương pháp ánh xạ gửi n cho tới [(n,0)]) và lớp [(0,n)] được ký hiệu n (điều này bao hàm toàn bộ những lớp còn sót lại và mang lại lớp [(0,0)] gấp đôi tự −0 = 0.

Do cơ, [(a,b)] được ký hiệu là

Nếu những số ngẫu nhiên được xác lập với những số vẹn toàn ứng (sử dụng luật lệ nhúng được nhắc ở trên), thì quy ước này sẽ không tạo nên sự mơ hồ nước.

Ký hiệu này hồi phục màn biểu diễn không xa lạ của những số vẹn toàn là {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} {..., −2, −1, 0, 1, 2,...}.

Một số ví dụ:

Trong khoa học tập PC lý thuyết, những cơ hội tiếp cận không giống nhằm kiến tạo những số vẹn toàn được dùng bởi vì những máy tìm hiểu tấp tểnh lý tự động hóa và những khí cụ viết lách lại thuật ngữ. Số vẹn toàn được màn biểu diễn bên dưới dạng những thuật ngữ đại số được kiến tạo bằng phương pháp dùng một vài ba luật lệ toán cơ bạn dạng (ví dụ: zero, succ, pred) và, hoàn toàn có thể, dùng những số ngẫu nhiên, được giả thiết là đang được kiến tạo (sử dụng cách thức Peano).

Tồn bên trên tối thiểu mươi cơ hội kiến tạo những số vẹn toàn sở hữu vệt.[16] Các cấu tạo này không giống nhau theo đòi một trong những cách: con số những luật lệ toán cơ bạn dạng được dùng mang lại cấu tạo, con số (thường là kể từ 0 cho tới 2) và những loại đối số được những luật lệ toán này chấp nhận; sự hiện hữu hoặc vắng vẻ mặt mũi của những số ngẫu nhiên thực hiện đối số của một trong những luật lệ toán này và thực tiễn là những luật lệ toán này còn có cần là hàm tạo ra tự tại hay là không, tức là nằm trong một trong những vẹn toàn hoàn toàn có thể được màn biểu diễn chỉ bởi vì một hoặc nhiều số hạng đại số.

Kỹ thuật kiến tạo những số vẹn toàn được trình diễn phía trên vô phần này ứng với tình huống ví dụ vô cơ sở hữu một cặp luật lệ toán cơ bạn dạng duy nhất nhận đối số là nhị số ngẫu nhiên và trả về một trong những vẹn toàn (bằng ). Thao tác này sẽ không tự tại vì như thế số vẹn toàn 0 hoàn toàn có thể được viết lách là cặp (0,0), hoặc cặp (1,1) hoặc cặp (2,2), v.v. Kỹ thuật kiến tạo này được dùng bởi vì trợ lý chứng tỏ Isabelle; tuy vậy, nhiều khí cụ không giống dùng những chuyên môn kiến tạo thay cho thế, xứng đáng lưu ý là những chuyên môn dựa vào những cấu tạo tự tại, giản dị rộng lớn và hoàn toàn có thể được triển khai hiệu suất cao rộng lớn vô PC.

Máy tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một số vẹn toàn thông thường là 1 trong loại tài liệu vẹn toàn thủy trong số ngôn từ PC. Tuy nhiên, loại tài liệu số vẹn toàn chỉ hoàn toàn có thể thay mặt cho 1 giao hội con cái của toàn bộ những số vẹn toàn, vì như thế PC thực tiễn sở hữu dung tích hữu hạn. Hình như, vô màn biểu diễn luật lệ bù nhị phổ cập, khái niệm cố hữu của vệt phân biệt thân thiện "âm" và "không âm" chứ không "âm, dương và 0 ". (Tuy nhiên, chắc chắn rằng PC hoàn toàn có thể xác lập được liệu một độ quý hiếm số vẹn toàn sở hữu thực sự là số dương hay là không.) Các loại tài liệu xấp xỉ số vẹn toàn có tính nhiều năm thắt chặt và cố định (hoặc giao hội con) được ký hiệu là int hoặc Integer vô một trong những ngôn từ thiết kế (chẳng hạn như Algol68, C, Java, Delphi, v.v..).

Các màn biểu diễn số vẹn toàn có tính nhiều năm thay cho thay đổi, ví dụ như bignum, hoàn toàn có thể tàng trữ ngẫu nhiên số vẹn toàn này vừa vặn với bộ lưu trữ của dòng sản phẩm tính. Các loại tài liệu số vẹn toàn không giống được xây dựng với độ dài rộng thắt chặt và cố định, thông thường là một trong những bit là lũy quá của 2 (4, 8, 16, v.v.) hoặc một trong những chữ số thập phân (ví dụ: 9 hoặc 10).

Lực lượng[sửa | sửa mã nguồn]

Lực lượng của giao hội những số vẹn toàn bởi vì 0 (aleph-null). Điều được đơn giản và dễ dàng chứng tỏ bằng sự việc kiến tạo một tuy vậy ánh, cơ là 1 trong hàm đơn ánh và toàn ánh kể từ cho tới . Nếu như tiếp sau đó kiểm tra hàm sau:

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,0) (1,1) (2,3) (3,5)...}

Nếu như thì tớ kiểm tra hàm sau:

Xem thêm: yêu cầu hoàn tiền apple

{... (−4,8) (−3,6) (−2,4) (−1,2) (0,1) (1,3) (2,5) (3,7)...}

Nếu miền bị giới hạn vô vậy thì từng và từng thành phần của sở hữu một và có một thành phần ứng của và theo đòi khái niệm của đồng đẳng lực lượng thì nhị giao hội này còn có lực lượng đều nhau.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Số vô tỉ
  • Số hữu tỉ
  • Số vẹn toàn tố
  • Số tự động nhiên
  • Số đại số
  • Số siêu việt
  • Số thực
  • Số phức
  • Số siêu phức

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a b c Weisstein, Eric W., "Số nguyên" kể từ MathWorld.
  2. ^ a b c “Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 1 mon 3 năm 2020. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  3. ^ Weisstein, Eric W. “Integer”. mathworld.wolfram.com (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  4. ^ Miller, Jeff (29 mon 8 năm 2010). “Earliest Uses of Symbols of Number Theory”. Bản gốc tàng trữ ngày 31 mon một năm 2010. Truy cập ngày trăng tròn mon 9 năm 2010.
  5. ^ Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to tát Algebra. Oxford University Press. tr. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  6. ^ Keith Pledger and Dave Wilkins, "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Vi xử lý Core Mathematics 1" Pearson 2008
  7. ^ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Book 2, Longman 1975.
  8. ^ “Integer | mathematics”. Encyclopedia Britannica (bằng giờ đồng hồ Anh). Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  9. ^ “The Definitive Higher Math Guide to tát Long Division and Its Variants — for Integers”. Math Vault (bằng giờ đồng hồ Anh). 24 mon hai năm 2019. Truy cập ngày 11 mon 8 năm 2020.
  10. ^ Serge, Lang (1993). Algebra (ấn bạn dạng 3). Addison-Wesley. tr. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
  11. ^ Warner, Seth (2012). Modern Algebra. Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. Theorem trăng tròn.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Bản gốc tàng trữ ngày 6 mon 9 năm 2015. Truy cập ngày 29 tháng tư năm 2015.
  12. ^ Mendelson, Elliott (2008). Number Systems and the Foundations of Analysis. Dover Books on Mathematics. Courier Dover Publications. tr. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  13. ^ Ivorra Castillo: Álgebra
  14. ^ Frobisher, Len (1999). Learning to tát Teach Number: A Handbook for Students and Teachers in the Primary School. The Stanley Thornes Teaching Primary Maths Series. Nelson Thornes. tr. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Bản gốc tàng trữ ngày 8 mon 12 năm 2016. Truy cập ngày 15 mon hai năm 2016.
  15. ^ a b c Campbell, Howard E. (1970). The structure of arithmetic. Appleton-Century-Crofts. tr. 83. ISBN 978-0-390-16895-5.
  16. ^ Garavel, Hubert (2017). On the Most Suitable Axiomatization of Signed Integers. Post-proceedings of the 23rd International Workshop on Algebraic Development Techniques (WADT'2016). Lecture Notes in Computer Science. 10644. Springer. tr. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. Lưu trữ bạn dạng gốc ngày 26 mon một năm 2018. Truy cập ngày 25 mon một năm 2018.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons được thêm hình hình ảnh và phương tiện đi lại truyền đạt về Số nguyên.
  • Số vẹn toàn bên trên MathWorld.