chứng minh 2 tam giác đồng dạng

Phương pháp minh chứng nhị tam giác đồng dạng và phần mềm.

gia su toan lop 8 - nhị tam giac dong dang

Bạn đang xem: chứng minh 2 tam giác đồng dạng

các tình huống đồng dạng của tam giác thông thường :

Trường phù hợp đồng dạng 1 : 3 cạnh ứng tỉ trọng với nhau (c – c – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tao sở hữu :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF} =\frac{BC}{EF}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

Trường phù hợp đồng dạng 2 : 2 cạnh ứng tỉ trọng cùng nhau – góc xen thân mật nhị cạnh vị nhau(c – g – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tao sở hữu :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF}

\widehat{A}=\widehat{D}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

Trường phù hợp đồng dạng 3 : nhị góc ứng vị nhau(g – g)

xét ∆ABC và ∆DEF, tao sở hữu :

\widehat{A}=\widehat{D}

\widehat{B}=\widehat{E}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

II > Các quyết định lí đồng dạng của nhị tam giác vuông

1. Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ trọng với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác cơ thì nhị tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)
Nếu nhị cạnh góc vuông của tam giác này tỉ trọng với nhị cạnh góc vuông của tam giác cơ thì nhị tam giác đồng dạng.
3. Định lí 3 : ( góc)
Nếu góc nhọn của tam giác này vị góc nhọn của tam giác cơ thì nhị tam giác đồng dạng.

giải bài xích tập dượt :

Dạng 1 : minh chứng nhị tam giác đồng dạng – hệ thức :


Bài toán 1 :

cho ∆ABC (AB < AC), sở hữu AD là lối phân giác nhập. Tại miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho \widehat{BCx}=\widehat{BAD} . Gọi I là phó điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) \frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c) AD2 = AB.AC – BD.DC

GIẢI.

a)∆ADB và ∆CDI , tao sở hữu :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang

\widehat{BCx}=\widehat{BAD} (gt)

\widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , tao sở hữu :

\widehat{B}=\widehat{I} (∆ADB ~ ∆CDI)

\widehat{A_1}=\widehat{A_2} (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=>\frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : \frac{AD}{CD} =\frac{BD}{DI}  (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2


bài toán 2 :

Cho tam giác ABC vuông bên trên A, sở hữu lối cao AH . minh chứng những hệ thức :

  1. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC
  2. AB2 +AC2 = BC2
  3. AH2 = BH.CH
  4. AH.BC = AB.AC

Giải.

hai tam giac vuong dong dang

gia su toan lop 8

1. AC2 = CH.BC :

Xét nhị ∆ABC và ∆ HAC, tao sở hữu :

\widehat{BAC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{C} là góc cộng đồng.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> \frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

2. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), tao sở hữu :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

3.AH2 = BH.CH :

Xét nhị ∆HBA và ∆ HAC, tao sở hữu :

\widehat{BHC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{ABH} =\widehat{ HAC}  cùng phụ \widehat{BAH}

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

Xem thêm: sách giáo khoa lớp 11

=> \frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}

=> AH2 = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta sở hữu : \frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC} (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.


Dạng 2 : minh chứng nhị tam giác đồng dạng – quyết định lí talet + hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song :

bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ lối cao BD và CE. vẽ những lối cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh :

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

GIẢI.

a) xét ∆ABD và ∆AEG, tao sở hữu :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang dinh cơ li talet

BD \bot  AC (BD là lối cao)

EG \bot  AC (EG là lối cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => \frac{AB}{AE} =\frac{AD}{AG}

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, tao được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy đi ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, tao sở hữu :

AB.AG = AC.AF (cmt)

\frac{AB}{AF} =\frac{AC}{AG}

=> FG // BC (định lí hòn đảo talet)


Dạng 3 : minh chứng nhị tam giác đồng dạng – góc ứng đều bằng nhau :

bài toán :

Cho ∆ABC sở hữu những lối cao BD và CE hạn chế nhau bên trên H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cho thấy BD = CD. Gọi M là phó điểm của AH và BC. minh chứng : DE vuông góc EM.

GIẢI.

a)xét ∆HBE và ∆HCD, tao sở hữu :gia su toan lop 8 - nhị tam giac dong dang - goc bang nhau

\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0 (gt)

\widehat{H_1}=\widehat{H_2} (đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, tao sở hữu :

\frac{HE}{HD} =\frac{HB}{HC} (∆HBE ~ ∆HCD)

=>\frac{HE}{HB} =\frac{HD}{HC}

\widehat{EHD}=\widehat{CHB} (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> \widehat{D_1}=\widehat{C_1} (1)

mà : lối cao BD và CE hạn chế nhau bên trên H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH \bot  BC bên trên M.

=>\widehat{A_1}+\widehat{ABC}=90^0

mặt không giống : \widehat{C_1}+\widehat{ABC}=90^0

=>\widehat{A_1}=\widehat{C_1} (2)

từ (1) và (2) : \widehat{A_1}=\widehat{D_1}

hay : \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cmtt câu b, tao được : \widehat{A_2}=\widehat{E_2} (3)

xét ∆BCD, tao sở hữu :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân nặng bên trên D

=>\widehat{B_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{B_1}=\widehat{E_1} (∆HED ~ ∆HBC)

=> \widehat{E_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{A_2}+\widehat{ACB}=90^0

\widehat{A_2}=\widehat{E_2} (cmt)

Xem thêm: bảng đơn vị đo độ dài và khối lượng

=>\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=90^0

hay : \widehat{DEM}=90^0

=> ED \bot  EM.