Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức

 - 

Tìm giá bán tị lớn số 1 (GTLN) với giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức đựng dấu căn, biểu thức cất dấu giá trị tuyệt đối,...) là giữa những dạng toán lớp 9 có rất nhiều bài tương đối khó và yên cầu kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.

Bạn đang xem: Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức


Bài viết này sẽ share với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) cùng giá trị nhỏ dại nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, cất dấu quý hiếm tuyệt đối,...) qua một số bài tập minh họa vắt thể.


» Đừng vứt lỡ: Cách tìm giá trị nhỏ dại nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) bởi BĐT Cô-si

° Cách tìm giá bán trị phệ nhất, giá chỉ trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 đổi thay số)

- mong muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá chỉ trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể đổi khác biểu thức thành dạng: A2(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* lấy ví dụ như 1: cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4

- do (x + 1)2 ≥ 0 ⇒ (x + 1)2 - 4 ≥ -4 

 ⇒ A ≥ - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: Amin = -4 khi còn chỉ khi x = -1.

* ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x2 + 6x - 5. Tìm kiếm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)2 + 4 = 4 - (x - 3)2

- bởi vì (x - 3)2 ≥ 0 ⇒ -(x - 3)2 ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)2 ≤ 4

 ⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: Amax = 4 khi và chỉ còn khi x = 3.

* lấy ví dụ 3: Cho biểu thức: 

*

- tra cứu x để Amax; tính Amax =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x2 + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ dại nhất.

- Ta có: x2 + 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 4

- Vì (x + 1)2 ≥ 0 đề xuất (x + 1)2 + 4 ≥ 4 

 dấu "=" xảy ra khi và chỉ còn khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

 Vậy

*

 

*

*

° Cách tìm giá trị mập nhất, giá bán trị nhỏ nhất của biểu thức cất dấu căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến đổi số)

- cũng tương tự như giải pháp tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:

 

*
 hoặc 
*

- dấu "=" xẩy ra khi A = 0.

Xem thêm: Các Triệu Chứng Bệnh Tim Cần Lưu Ý, Người Mắc Bệnh Tim Có Triệu Chứng Gì Để Nhận Biết

* ví dụ như 1: Tìm GTNN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta thấy: 

*
 

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)2 + 3 ≥ 3

 nên 

*
 dấu "=" xảy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

*

* ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: 

*

 

*

 Vì (x - 1)2 ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)2 ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)2 + 5 ≤ 5

 nên 

*
 dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

 

*

* lấy ví dụ như 3: Tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có:

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 nên giá bán trị bé dại nhất của B là 
*
 đạt được khi:

 

*

* lấy một ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

*

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt giá chỉ trị lớn nhất thì 

*
 đạt giá chỉ trị nhỏ dại nhất

- Ta có: 

*

 

*

 Lại có: 

*
*

 Dấu"=" xẩy ra khi 

*

*

*

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé dại nhất của biểu thức chứa dấu cực hiếm tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 thay đổi số)

- việc này cũng chủ yếu dựa vào tính ko âm của trị xuất xắc đối.

* lấy ví dụ 1: tìm GTLN của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

 Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

 Vậy Amax = 5 ⇔ x = 1

* ví dụ như 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xẩy ra khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

 Vậy Amin = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, những bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,...) cùng hằng số nhằm tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải áp dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) mang lại hai số a, b ko âm: 

*
 (Dấu "=" xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức đựng dấu quý hiếm tuyệt đối:
*
 (dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); 
*
, (dấu "=" xẩy ra khi và chỉ còn khi a.b≤ 0).

* ví dụ 1: Tìm giá trị bé dại nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- bởi vì a,b>0 nên 

*

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

 

*

 Dấu "=" xảy ra khi 

*

- Kết luận: giá trị nhỏ tuổi nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* lấy ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ dại nhất của biểu thức: 

*

° Lời giải:

- do a > 1 đề nghị a - 1 > 0 ta có:

 

*
 <Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được>

 

*

Dấu "=" xảy ra khi 

*

Đối chiếu đk a > 1 nên chỉ nhận a = 2; nhiều loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.


Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) với giá trị nhỏ tuổi nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở bên trên giúp các em hiểu rõ hơn về dạng toán này.

Xem thêm: Phòng Bệnh Viêm Phổi Cho Trẻ, Phòng Ngừa Bệnh Viêm Phổi Ở Trẻ

» Đừng quăng quật lỡ: Cách giải phương trình chứa dấu căn và bài bác tập rất hay

Việc vận dụng vào mỗi bài xích toán đòi hỏi kỹ năng làm toán của những em, kỹ năng này đã có được khi các em chịu khó rèn luyện qua không ít bài tập. Mọi góp ý với thắc mắc những em hãy còn lại nhận xét dưới nội dung bài viết để 

*
 ghi nhận với hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.