cách chứng minh tam giác đồng dạng

Phương pháp minh chứng nhì tam giác đồng dạng và phần mềm.

gia su toan lop 8 - nhì tam giac dong dang

Bạn đang xem: cách chứng minh tam giác đồng dạng

các tình huống đồng dạng của tam giác thông thường :

Trường hợp ý đồng dạng 1 : 3 cạnh ứng tỉ trọng với nhau (c – c – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tao với :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF} =\frac{BC}{EF}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – c – c)

Trường hợp ý đồng dạng 2 : 2 cạnh ứng tỉ trọng cùng nhau – góc xen thân mật nhì cạnh vì như thế nhau(c – g – c)

xét ∆ABC và ∆DEF, tao với :

\frac{AB}{DE} =\frac{AC}{DF}

\widehat{A}=\widehat{D}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c)

Trường hợp ý đồng dạng 3 : nhì góc ứng vì như thế nhau(g – g)

xét ∆ABC và ∆DEF, tao với :

\widehat{A}=\widehat{D}

\widehat{B}=\widehat{E}

=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g)

II > Các lăm le lí đồng dạng của nhì tam giác vuông

1. Định lí 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ trọng với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác cơ thì nhì tam giác đồng dạng.
2. Định lí 2 : (hai cạnh góc vuông)
Nếu nhì cạnh góc vuông của tam giác này tỉ trọng với nhì cạnh góc vuông của tam giác cơ thì nhì tam giác đồng dạng.
3. Định lí 3 : ( góc)
Nếu góc nhọn của tam giác này vì như thế góc nhọn của tam giác cơ thì nhì tam giác đồng dạng.

giải bài xích luyện :

Dạng 1 : minh chứng nhì tam giác đồng dạng – hệ thức :


Bài toán 1 :

cho ∆ABC (AB < AC), với AD là lối phân giác vô. Tại miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho \widehat{BCx}=\widehat{BAD} . Gọi I là gửi gắm điểm của Cx và AD. cmr :

a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI.

b) \frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c) AD2 = AB.AC – BD.DC

GIẢI.

a)∆ADB và ∆CDI , tao với :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang

\widehat{BCx}=\widehat{BAD} (gt)

\widehat{D_1}=\widehat{D_2} (đối đỉnh)

=> ∆ADB ~ ∆CDI

b) )∆ABD và ∆AIC , tao với :

\widehat{B}=\widehat{I} (∆ADB ~ ∆CDI)

\widehat{A_1}=\widehat{A_2} (AD là phân giác)

=> ∆ABD ~ ∆AIC

=>\frac{AD}{AC} =\frac{AB}{AI}

c)=> AD.AI = AB.AC (1)

mà : \frac{AD}{CD} =\frac{BD}{DI}  (∆ADB ~ ∆CDI )

=> AD.DI = BD.CD (2)

từ (1) và (2) :

AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2


bài toán 2 :

Cho tam giác ABC vuông bên trên A, với lối cao AH . minh chứng những hệ thức :

  1. AB2 = BH.BC và AC2 = CH.BC
  2. AB2 +AC2 = BC2
  3. AH2 = BH.CH
  4. AH.BC = AB.AC

Giải.

hai tam giac vuong dong dang

gia su toan lop 8

1. AC2 = CH.BC :

Xét nhì ∆ABC và ∆ HAC, tao với :

\widehat{BAC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{C} là góc công cộng.

=> ∆ABC ~ ∆HAC (g – g)

=> \frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}

=> AC2 = CH.BC (1)

Cmtt : AB2 = BH.BC (2)

2. AB2 +AC2 = BC2

Từ (1) và (2), tao với :

AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2

3.AH2 = BH.CH :

Xét nhì ∆HBA và ∆ HAC, tao với :

\widehat{BHC} =\widehat{ AHC} =90^0

\widehat{ABH} =\widehat{ HAC}  cùng phụ \widehat{BAH}

=> ∆HBA ~ ∆HAC (g – g)

Xem thêm: chào ngày mới thứ 2

=> \frac{HA}{HC}=\frac{HB}{HA}

=> AH2 = BH.CH

4. AH.BC = AB.AC :

Ta với : \frac{HA}{AB}=\frac{AC}{BC} (∆ABC ~ ∆HAC)

=> AH.BC = AB.AC.


Dạng 2 : minh chứng nhì tam giác đồng dạng – lăm le lí talet + hai tuyến đường trực tiếp tuy vậy song :

bài toán :

Cho ∆ABC nhọn. kẻ lối cao BD và CE. vẽ những lối cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh :

a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.

b) AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) FG // BC

GIẢI.

a) xét ∆ABD và ∆AEG, tao với :gia su toan lop 8 - tam giac dong dang dinh cơ li talet

BD \bot  AC (BD là lối cao)

EG \bot  AC (EG là lối cao)

=> BD // EG

=> ∆ABD ~ ∆AGE

b) => \frac{AB}{AE} =\frac{AD}{AG}

=> AD.AE = AB.AG (1)

cmtt, tao được : AD.AE = AC.AF (2)

từ (1) và (2) suy đi ra :

AD.AE = AB.AG = AC.AF

c) xét ∆ABC, tao với :

AB.AG = AC.AF (cmt)

\frac{AB}{AF} =\frac{AC}{AG}

=> FG // BC (định lí hòn đảo talet)


Dạng 3 : minh chứng nhì tam giác đồng dạng – góc ứng đều nhau :

bài toán :

Cho ∆ABC với những lối cao BD và CE tách nhau bên trên H. Chứng minh :

a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.

b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cho biết thêm BD = CD. Gọi M là gửi gắm điểm của AH và BC. minh chứng : DE vuông góc EM.

GIẢI.

a)xét ∆HBE và ∆HCD, tao với :gia su toan lop 8 - nhì tam giac dong dang - goc bang nhau

\widehat{BEH}=\widehat{CDH}=90^0 (gt)

\widehat{H_1}=\widehat{H_2} (đối đỉnh)

=> ∆HBE ~ ∆HCD (g – g)

b) ∆HED và ∆HBC, tao với :

\frac{HE}{HD} =\frac{HB}{HC} (∆HBE ~ ∆HCD)

=>\frac{HE}{HB} =\frac{HD}{HC}

\widehat{EHD}=\widehat{CHB} (đối đỉnh)

=> ∆HED ~ ∆HBC (c – g – c)

=> \widehat{D_1}=\widehat{C_1} (1)

mà : lối cao BD và CE tách nhau bên trên H (gt)

=> H là trực tâm.

=> AH \bot  BC bên trên M.

=>\widehat{A_1}+\widehat{ABC}=90^0

mặt không giống : \widehat{C_1}+\widehat{ABC}=90^0

=>\widehat{A_1}=\widehat{C_1} (2)

từ (1) và (2) : \widehat{A_1}=\widehat{D_1}

hay : \widehat{HDE}=\widehat{HAE}

c) cmtt câu b, tao được : \widehat{A_2}=\widehat{E_2} (3)

xét ∆BCD, tao với :

DB = DC (gt)

=> ∆BCD cân nặng bên trên D

=>\widehat{B_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{B_1}=\widehat{E_1} (∆HED ~ ∆HBC)

=> \widehat{E_1}=\widehat{ACB}

mà : \widehat{A_2}+\widehat{ACB}=90^0

\widehat{A_2}=\widehat{E_2} (cmt)

Xem thêm: tế bào biểu bì vảy hành

=>\widehat{E_1}+\widehat{E_2}=90^0

hay : \widehat{DEM}=90^0

=> ED \bot  EM.